Лекция 9.

§19. Логарифмический вычет.

1. Определение. Формула подсчета числа нулей и полюсов 
2. Теорема Руше и основная теорема высшей алгебры
1. Определение. Формула подсчета числа нулей и полюсов

Пусть f(z)C (\z1,:zN), zn- полюса и f(x )ч x0. Тогда " x - правильная и $ f(x )ч x.
Определение. Функция j (z)=f'(z)/f(z)=[ln f(z)]' называется логарифмической производной функции f(z).
Вычеты j (z) в ее особых точках zn называются логарифмическими вычетами.
Особыми точками j (z) будут нули z0k и полюса zk функции f(z). Как считать вычеты?
a)    Пусть z0k - нуль порядка n функции f(z); => f(z)=(z-z0k)nf1(z), f1(z0k)0 =>
=> j (z)=n/(z-z0k)+f'1(z)/f1(z) => Выч[j (z),z0k]=n.
b)    Пусть zk - полюс порядка p функции f(z);=> f(z)=y (z)/(z-zk)p , y (zk)0 =>
=> j (z)=-p/(z-zk)+ y '(z)/y (z) => Выч[j (z),zk]=-p.
Теорема 19.1 Если f(z)C(\z1,:zN), zn- полюса и f(x )ч x0, то =N-P, где N- полное число нулей f(z) с учетом кратности, P- полное число полюсов f(z) с учетом кратности.
Доказательство. По основной теореме теории вычетов
j (x )dx =2p iВыч[j (z),zm]= 2p i[nk-pk]= 2p i(N-P). n
В частности, если f(z)C(), то N=.
Принцип аргумента. dlnf(x )=d ln|f(x )|+i d arg f(x ). Действительная функция ln|f(x )| является однозначной функцией, поэтому ее вариация (изменение) при обходе точкой x замкнутого контура + равна 0. => Первое слагаемое =0. Второе слагаемое представляет собой полную вариацию arg(f(x )) при обходе точкой x замкнутого контура+, деленную на 2p . Итак, N-P=(1/2p )Var[arg(f(x ))]|+ .
Геометрическая интерпретация.  Изобразим значения w=f(z) точками на комплексной плоскости w. Т.к. f(z)C(), то при полном обходе точкой z контура  на комплексной плоскости z, соответствующая ей точка на плоскости w описывает некий замкнутый контур С. При этом точка w=0 может оказаться как вне, так и внутри области, ограниченной контуром C. В первом случае Var[arg(w)]|С=0. Во втором случае Var[arg(w)]|С= числу полных обходов вокруг точки w=0, которое совершает точка w при своем движении по контуру C. При этом точка w может обходить точку w=0 как в положительном направлении (против часовой стрелки), так и в отрицательном (по часовой).
Принцип аргумента. Разность между полным числом нулей и полюсов функции f(z) в области g определяется числом оборотов, которое совершает очка w=f(z) вокруг точки w=0, при положительном обходе точкой z контура .
2. Теорема Руше и основная теорема высшей алгебры

Теорема Руше Если f(z), j (z)C() и |f(z)|>|j (z)| , то N[f+j ]g=N[f]g.
Доказательство. Для f(z) и F(z)=f(z)+j(z) выполнены все условия Теоремы 19.1 Действительно, f(z)C() => f(z) | не имеет особых точек и т.к.
|f(z)|>|j (z)|=>|f(z)|0.
F(z)C() => F(z) | не имеет особых точек и т.к. |F(z)|=| f(z)+j (z)||f(z)|- |j (z)| >0. =>N[f+j ]g=(1/2p )Var[arg(f+j )]; N[f]g=(1/2p )Var[arg(f)];
N[f+j ]g-N[f]g=(1/2p )Var[arg(f+j )- arg(f)]={arg a-arg b=arg a/b т.к. a=|a|eiarga, b=|b|eiargb=> a/b=(|a|/|b|)ei(arg a-arg b)=> arg a/b = arg a-arg b }= 
=(1/2p )Var[arg((f+j )/f)]=(1/2p )Var[arg(1+j /f)]|. Введем функцию w=1+j /f. При обходе точкой z контура  соответствующая ей w опишет некоторую замкнутую кривую C, которая т.к. |f(z)|>|j (z)| целиком будет лежать внутри некоторого круга |w-1|r <1, т.е. точка w=0 лежит вне кривой С. => Var[arg(1+j/f)]|=0 n .
Основная теорема высшей алгебры. Полином n-ой степени имеет на комплексной плоскости ровно n нулей (с учетом их кратности).
Доказательство. Представим полином F(z)=a0zn+a1zn-1+:+an в виде F(z)=f(z)+j (z), где f(z)=a0zn, j (z)= a1zn-1+:+an. Составим отношение j (z)/f(z)=(a1/a0)1/z+:+(an/a0)1/zn.
Для " a0, a1, an  $ R0, что для " |z|=R> R0    0<|j (z)/f(z)||z|=R<1.
В силу Теоремы Руше   N[F] |z|=R= N[f] |z|=R. Но функция f(z)=a0zn на всей комплексной плоскости имеет единственный n-кратный нуль- точку z=0.=> N[F] |z|=R= N[f] |z|=R=n n

Назад       Вверх       Вперед